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已知函数f(x)=x2+px+q,不等式f(x)<0的解集为{x|2<x<5}
(1)求实数p,q的值;
(2)若当2≤x≤5时,f(x)<x+m恒成立,求实数m的取值范围;
(3)若实数m>0,解关于x的不等式f(x)<mx2-6x+m+11.
分析:(1)根据二次函数f(x)=x2+px+q,当f(x)<0时,有2<x<5,可得2,5是方程x2+px+q=0的两根,利用韦达定理可求p和q的值;
(2)函数在区间上恒成立问题,要转化为函数在给定区间上的最值问题,通过求解函数的最值,列出关于实数m的不等式,达到求解该题的目的.
(3)因为最高次幂位置有参数m,故需要分类讨论,利用不等式对应的二次函数图象和性质解决.
解答:解:(1)∵二次函数f(x)=x2+px+q,当f(x)<0时,有2<x<5.
∴2,5是方程x2+px+q=0的两根
-p=2+5
q=2×5

∴p=-7,q=10;
(2)由题意知,m>x2-8x+10在[2,5]上恒成立,
又x2-8x+10=(x-4)2-6,当x=4时有最大值-2,
所以m>-2.
(3)即解不等式(m-1)x2+x+m+1>0,m>0,
①当m=1时,x>-2;
②当0<m<1时,△>0,
-1+
5-4m2
2(m-1)
<x<
-1-
5-4m2
2(m-1)

③当1<m<
5
2
时,△>0,x<
-1-
5-4m2
2(m-1)
 或x>
-1+
5-4m2
2(m-1)

④当m=
5
2
时,△=0,x
-1
2(m-1)

⑤当m>
5
2
时,△<0,x∈R.
点评:本题重点考查解不等式,考查不等式的解集与方程解之间的关系,考查函数恒成立问题的解决思路和方法,考查函数与不等式的综合问题,考查学生的转化与化归的思想和方法、解不等式的思想.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•深圳一模)已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•上海模拟)已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:上海模拟 题型:解答题

已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:深圳一模 题型:解答题

已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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