Question

（2012•武昌区模拟）如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|．当点P在圆x²+y²=1上运动时．
（I）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点T（0，t）作圆x²+y²=1的切线l交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．

Answer 1

分析：（I）设出M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x₀，y₀），由题意DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|，找出x₀与x的关系及y₀与y的关系，记作①，根据P在圆上，将P的坐标代入圆的方程，记作②，将①代入②，即可得到点M的轨迹方程；
（Ⅱ）由过点T（0，t）作圆x²+y²=1的切线l交曲线C于A，B两点，得到|t|大于等于圆的半径1，分两种情况考虑：（i）当t=1时，确定出切线l为x=1，将x=1代入M得轨迹方程中，求出A和B的坐标，确定出此时|AB|的长，当t=-1时，同理得到|AB|的长；（ii）当|t|大于1时，设切线l方程为y=kx+t，将切线l的方程与圆方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，设A和B的坐标，利用根与系数的关系表示出两点横坐标之和与之积，再由切线l与圆相切，得到圆心到切线的距离d=r，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后得到k与t的关系式，然后利用两点间的距离公式表示出|AB|，将表示出的两根之和与两根之积，以及k与t的关系式代入，得到关于t的关系，利用基本不等式变形，得到|AB|的最大值，以及此时t的取值，而三角形AOB的面积等于AB与半径r乘积的一半来求，表示出三角形AOB的面积，将|AB|的最大值代入求出三角形AOB面积的最大值，以及此时T的坐标即可．

解答：（本小题满分13分）
解：（I）设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x₀，y₀），
则x=x₀，y=2y₀，所以x₀=x，y₀=

y

2

，①
因为P（x₀，y₀）在圆x²+y²=1上，所以x₀²+y₀²=1②，
将①代入②，得点M的轨迹方程C的方程为x²+

y2

4

=1；…（5分）
（Ⅱ）由题意知，|t|≥1，
（i）当t=1时，切线l的方程为y=1，点A、B的坐标分别为（-

3

2

，1），（

3

2

，1），
此时|AB|=

3

，当t=-1时，同理可得|AB|=

3

；
（ii）当|t|＞1时，设切线l的方程为y=kx+t，k∈R，
由

y=kx+t x2+ y 2   4 =1

，
得（4+k²）x²+2ktx+t²-4=0③，
设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由③得：x₁+x₂=-

2kt

4+k2

，x₁x₂=

t2-4

4+k2

，
又直线l与圆x²+y²=1相切，得

|t|

k 2   +1

=1，即t²=k²+1，
∴|AB|=

(x2-x1) 2   + (y2-y1) 2

=

(1+ k 2   )[ 4k2t2 (4+k2)2 - 4(t2-4) 4+k2 ]

=

4 3 |t|

t 2   +3

，
又|AB|=

4 3 |t|

t 2   +3

=

4 3

|t|+ 3 |t|

≤2，且当t=±

3

时，|AB|=2，
综上，|AB|的最大值为2，
依题意，圆心O到直线AB的距离为圆x²+y²=1的半径，
∴△AOB面积S=

1

2

|AB|×1≤1，
当且仅当t=±

3

时，△AOB面积S的最大值为1，相应的T的坐标为（0，-

3

）或（0，

3

）．…（13分）

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，以及动点的轨迹方程，涉及的知识有：直线与圆的交点，一元二次方程根与系数的关系，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，基本不等式的运用，以及直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径的性质，利用了转化及分类讨论的思想，是一道综合性较强的试题．