Question

已知函数f(x)=

ax-ln(-x)，x∈[-e，0) ax+lnx，x∈(0，e]

，其中a为常数．
（1）试判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若（0，e]时，函数f（x）的最大值为-1，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，求证：ln(n+1)＜

n

i=1

1

n

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）利用奇偶性的定义解决该函数奇偶性的问题，注意分段函数蕴含的分类讨论思想；
（2）确定函数在何处取到最大值，注意单调性的运用，列出关于实数a的方程，通过解方程求出实数a的值；
（3）利用第二问的结论建立一个常见的不等式，通过该不等式利用对数的运算性质放缩证明出所要证明的不等式．

解答：解：（1）当x∈[-e，0）时，则-x∈（0，e]
∴f（-x）=a（-x）+ln（-x）=-ax+ln（-x）=-f（x）
当x∈（0，e]时，则-x∈[-e，0）
∴f（-x）=a（-x）-lnx=-ax-lnx=-（ax+lnx）=-f（x）
∴函数f（x）为奇函数；
（2）假设存在满足条件的实数a，f′(x)=a+

1

x

①当a≥-

1

e

时，由于x∈（0，e]，∴f′(x)=a+

1

x

≥0
∴f（x）在x∈（0，e]上是增函数
∴f（x）_min=f（e）=ae+1=-1，a=-

2

e

＜-

1

e

（舍去）
②当a＜-

1

e

时，令f(x)=0，得x=-

1

a

则f（x）在[-

1

a

，e]上递减，(0，-

1

a

)上递增
∴f(x)max=f(-

1

a

)=-1+ln(-

1

a

)=-1，解得a=-1
综合①②可知a=-1；
（3）由（2）知，f（x）=lnx-x≤-1，x∈（0，e]
∴lnx≤x-1（当且仅当x=1时取“=”）
∵1＜1+

1

n

＜e∴ln(1+

1

n

)＜

1

n

∴ln(1+

1

1

)+ln(1+

1

2

)+…+ln(1+

1

n

)=ln2+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n+1

n

=ln(2×

3

2

×

4

3

×…×

n+1

n

)=ln(n+1)＜

1

1

+

1

2

+…+

1

n

∴ln(n+1)＜

n

i=1

1

n

(n∈N*)．

点评：本题考查分段函数的解决方法，考查分类讨论思想，函数奇偶性的证明．函数最值的求解，考查方程思想．利用函数的单调性证明不等式的意识，放缩放证明不等式．