Question

已知函数f（x）=ln（x+1）-x．
（1）求函数f（x）在x=-

1

2

处的切线方程；
（2）当x₁＞x₂＞-1时，求证：f（

x1+x2

2

）＞

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]；
（3）若k∈R，且xf（x-1）+x²-k（x-1）＞0对任意x＞1恒成立，求k的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数恒成立问题

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导函数，求出切线的斜率，切点坐标，即可求函数f（x）在x=-

1

2

处的切线方程；
（2）利用作差法，结合基本不等式，即可证明结论；
（3）令g(x)=

xf x-1 +x2

x-1

=

xlnx+x

x-1

(x＞1)⇒g′(x)=

x-lnx-2

(x-1)2

(x＞1)，再构造函数h(x)=x-lnx-2(x＞1)⇒h′(x)=

x-1

x

＞0⇒h(x)在（1，+∞）上单调递增，利用k＜[g（x）]_min，即可求k的最大值．

解答： （1）解：f(x)=ln(x+1)-x⇒f′(x)=

1

x+1

-1=

-x

x+1

∴故切线斜率k=

-x

x+1

|x=-

1

2

=1，f

- 1 2

=

1

2

-ln2
∴切线方程：y-(

1

2

-ln2)=x+

1

2

⇒x-y+1-ln2=0．

（2）证明：∵f（x）=ln（x+1）-x，
∴f（

x1+x2

2

）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=ln（

x1+x2

2

+1）-

x1+x2

2

-

1

2

[ln（x₁+1）-x₁+ln（x₂+1）-x₂]
=ln

x1+x2+2

2

-ln

(x1+1)(x2+1)

，
∵x₁＞x₂＞-1，
∴

x1+x2+2

2

＞

(x1+1)(x2+1)

，
∴ln

x1+x2+2

2

-ln

(x1+1)(x2+1)

＞0，
∴f（

x1+x2

2

）＞

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]

（3）解：令g(x)=

xf x-1 +x2

x-1

=

xlnx+x

x-1

(x＞1)⇒g′(x)=

x-lnx-2

(x-1)2

(x＞1)
令h(x)=x-lnx-2(x＞1)⇒h′(x)=

x-1

x

＞0⇒h(x)在（1，+∞）上单调递增．
∵h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，
∴h（x）存在唯一零点x₀∈（3，4），即x₀-lnx₀-2=0．
当x∈（1，x₀）时，h（x）＜h（x₀）=0⇒g′（x）＜0；
当x∈（x₀，+∞）时，h（x）＞h（x₀）=0⇒g′（x）＞0；
∴g（x）在x∈（1，x₀）时单调递减；在x∈（x₀，+∞）时，单调递增；
∴[g(x)min]=g(x0)=

x0(lnx0+1)

x0-1

=

x0(x0-1)

x0-1

=x0
由题意k＜[g（x）]_min=x₀，
∵k∈Z，∴k的最大值是3．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查切线方程，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，正确构造函数是关键．