Question

如图所示的三棱锥A-BCD中，∠BAD=90°，AD⊥BC，AD=4，AB=AC=2，∠BAC=120°，若点P为△ABC内的动点满足直线DP与平面ABC所成角的正切值为2，则点P在△ABC内所成的轨迹的长度为              

Answer 1

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解析试题分析：因为∠BAD=90°，所以AD⊥AB,又AD⊥BC，且ABBC=B，所以AD⊥平面ABC。
在平面ABC内，取点P，连PA，则是DP与平面ABC所成角。
又因为AD=4，所以直线DP与平面ABC所成角的正切值为2，须AP=2，即点P在△ABC内所成的轨迹是以A为圆心，半径为2 的圆的一部分。
而∠BAC=120°=，故点P在△ABC内所成的轨迹的长度为=。
考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，角的计算，圆的定义，扇形弧长公式。
点评：典型题，综合性较强，考查知识全面，可谓之是“证算并重题”，较好地考查了数形结合思想及学生的逻辑推理能力、计算能力。解答本题的关键是认识到“点P在△ABC内所成的轨迹是以A为圆心，半径为2 的圆的一部分。”