Question

已知椭圆C：

x2

4

+y2=1，左右焦点分别为F₁，F₂，
（1）若C上一点P满足∠F₁PF₂=90°，求△F₁PF₂的面积；
（2）直线l交C于点A，B，线段AB的中点为(1，

1

2

)，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的定义和勾股定理及三角形的面积公式即可得出；
（2）利用“点差法”求出直线的斜率，进而利用点斜式即可求出直线的方程．

解答：解：（1）由第一定义，|PF₁|+|PF₂|=2a=4，即|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=16
由勾股定理，|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=12，
∴|PF₁||PF₂|=2，S△F1PF2=

1

2

|PF1||PF2|=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），满足

x12

4

+y12=1，

x22

4

+y22=1，
两式作差

(x1+x2)(x1-x2)

4

+(y1+y2)(y1-y2)=0，
将x₁+x₂=2，y₁+y₂=1代入，得

(x1-x2)

2

+(y1-y2)=0，可得kAB=

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

，
∴直线方程为：y=-

1

2

x+1．

点评：熟练掌握椭圆的定义和勾股定理及三角形的面积公式、“点差法”求直线的斜率是解题的关键．