Question

14．已知${（1-2x）^7}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_7}{x^7}$，求：
（1）a₁+a₂+…+a₇；
（2）a₁+a₃+a₅+a₇；
（3）|a₀|+|a₁|+…+|a₇|

Answer 1

分析 （1）在所给的等式中，令x=0，可得常数项a₀=1；令x=1可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₇=-1，从而求得a₁+a₂+a₃+…+a₇的值．
（2）在所给的等式中，分别令x=1、-1，得到2个等式，再把这2个等式相减，可得a₁+a₃+a₅+…+a₇的值．
（3）在（1+2x）⁷ 中，令x=1，可得要求式子的值．

解答 解：（1）在${（1-2x）^7}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_7}{x^7}$中，令x=0，可得常数项a₀=1．
在所给的等式中，令x=1可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₇=-1，
∴a₁+a₂+a₃+…+a₇=-2．
（2）在所给的等式知${（1-2x）^7}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_7}{x^7}$中，令x=1可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₇=-1①，
令x=-1可得得${a_0}-{a_1}+{a_2}-{a_3}+…-{a_7}={3^7}$②，
用①减去②再除以2可得a₁+a₃+a₅+…+a₇=-1094．
（3）在（1+2x）⁷ 中，令x=1，可得$|{a_0}|+|{a_1}|+|{a_2}|+…+|{a_7}|={3^7}=2187$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．