Question

5．已知函数f（x）=$cosx•sin（x+\frac{π}{6}）$
（1）求函数f（x）的最小正周期；’
（2）将函数y=f（x）的图象向下平移$\frac{1}{4}$个单位，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求使g（x）＞$\frac{1}{2}$成立的x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得它的最小正周期．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象特征，求得g（x）＞$\frac{1}{2}$的解集．

解答 解：（1）函数f（x）=$cosx•sin（x+\frac{π}{6}）$=cosx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$，
∴它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）将函数y=f（x）的图象向下平移$\frac{1}{4}$个单位，可得函数y=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象；
再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=g（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象，
由g（x）＞$\frac{1}{2}$，可得sin（2x+$\frac{π}{6}$）＞$\frac{1}{2}$，∴2kπ+$\frac{π}{6}$＜2x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{5π}{6}$，
求得kπ＜x＜kπ+$\frac{π}{3}$，故使不等式成立的x的取值集合为（kπ，kπ+$\frac{π}{3}$ ），k∈Z．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象特征，属于基础题．