Question

8．已知两个点M（-5，0）和N（5，0），若直线上存在点P，使|PM|-|PN|=6，则称该直线为“B型直线”．给出下列四条直线：（1）y=x+1；（2）y=2； （3）y=$\frac{4}{3}$x；（4）y=2x+1判断是“B型直线”的是（　　）

• A． （1）、（2）
• B． （2）、（3）
• C． （1）、（3）
• D． （2）、（4）

Answer 1

分析 根据双曲线的定义，可得点P的轨迹是以M、N为焦点，2a=6的双曲线的右支，由此算出双曲线的方程．再分别判断双曲线的右支与四条直线的位置关系，可得只有（1）、（2）的直线上存在点P满足B型直线的条件，由此可得答案．

解答 解：∵点M（-5，0），N（5，0），点P使|PM|-|PN|=6，
∴点P的轨迹是以M、N为焦点，2a=6的双曲线的右支．
可得b²=c²-a²=5²-3²=16，双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，（x＞0），
∵双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{4}{3}$x，
∴直线y=$\frac{4}{3}$x与双曲线没有公共点；
直线y=2x+1经过点（0，1）斜率k＞$\frac{4}{3}$，与双曲线也没有公共点；
而直线y=x+1、与直线y=2都与双曲线有交点．
因此，在y=x+1与y=2上存在点P使|PM|-|PN|=6，满足B型直线的条件．
只有（1），（2）正确．
故选：A．

点评 本题给出“B型直线”的定义，判断几条直线是否为B型直线，着重考查了双曲线的定义、标准方程、直线与双曲线的位置关系等知识，属于中档题．