Question

20．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sin2ωx-cos2ωx$（其中ω∈（0，1）），若f（x）的图象经过点$（\frac{π}{6}，0）$，则f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间为$[{0，\frac{2π}{3}}]$．

Answer 1

分析 推导出f（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$），从而求出f（x）的增区间为[-$\frac{π}{3}$+2kπ，$\frac{2π}{3}$+2kπ]，k∈Z，由此能示出f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间．

解答 解：函数$f（x）=\sqrt{3}sin2ωx-cos2ωx$
=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），
∵f（x）的图象经过点$（\frac{π}{6}，0）$，
∴2sin（$\frac{π}{3}$ω-$\frac{π}{6}$）=0，∴$\frac{π}{3}$ω-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，
解得ω=3k$+\frac{1}{2}$，
∵ω∈（0，1），∴ω=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的增区间为：-$\frac{π}{2}$+2kπ$≤x-\frac{π}{6}≤$$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈z，
整理，得-$\frac{π}{3}$+2kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+2kπ，k∈Z，
∴f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间为$[{0，\frac{2π}{3}}]$．
故答案为：$[{0，\frac{2π}{3}}]$．

点评 本题考查三角函数的增区间的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数图象及性质的合理运用．