Question

11．如图所示的几何体QPABCD为一简单组合体，在底面ABCD中，∠DAB=60°，AD⊥DC，AB⊥BC，QD⊥平面ABCD，PA∥QD，PA=1，AD=AB=QD=2．
（1）求证：平面PAB⊥平面QBC；
（2）求该组合体QPABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出PA⊥BC，BC⊥AB，从而BC⊥平面PAB，由此能证明平面PAB⊥平面QBC．
（2）连接BD，过B作BO⊥AD于O，该组合体的体积V=V_B-PADQ+V_Q-BCD．由此能求出结果．

解答 证明：（1）∵OD⊥平面ABCD，PA∥QD，∴PA⊥平面ABCD，
又∵BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，
又BC⊥AB，PA?平面PAB，AB?平面PAB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，又∵BC?平面QBC，
∴平面PAB⊥平面QBC．
解：（2）连接BD，过B作BO⊥AD于O，
∵PA⊥平面ABCD，BO?平面ABCD，
∴PA⊥BO，
又BO⊥AD，AD?平面PADQ，PA?平面PADQ，PA∩AD=A，
∴BO⊥平面PADQ，
∵AD=AB=2，∠DAB=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴$BO=\sqrt{3}$．
∴${V_{B-PADQ}}=\frac{1}{3}{S_{梯形PADQ}}•BO=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（{1+2}）×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$．
∵∠ADC=∠ABC=90°，∴∠CBD=∠CDB=30°，又BD=AB=2，
∴$BC=CD=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，∴${S_{△BCD}}=\frac{1}{2}×2×\frac{{2\sqrt{3}}}{3}×sin30°=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
∵QD⊥平面ABCD，∴${V_{Q-BCD}}=\frac{1}{3}{S_{△BCD}}•QD=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{3}×2=\frac{{2\sqrt{3}}}{9}$．
∴该组合体的体积$V={V_{B-PADQ}}+{V_{Q-BCD}}=\frac{{11\sqrt{3}}}{9}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查几何体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．