Question

6．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，D为棱AA₁的中点，AB=AC=AD=1，
（Ⅰ） 求证：平面DBC₁⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ） 若直线A₁B与B₁C₁所成角为75°，求二面角B-AA₁-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过直线与平面垂直的判定定理，然后利用平面与平面垂直的判定定理证明即可．
（Ⅱ）利用异面直线所成角，转化求解BO，通过求解∠BAC的余弦值，即可求解二面角B-AA₁-C的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）如图：取BC₁的中点E，BC 的中点O，连结AO，OE，ED，
A₁A⊥平面ABC，D为棱AA₁的中点，AB=AC=AD=1，
∴EO$\stackrel{∥}{=}\frac{1}{2}A{A}_{1}$，AO⊥BC，AO⊥AA₁，∴AO⊥OE，OE∩BC=O，
∴AO⊥平面BCC₁B₁；
DE?平面DBC₁；
∴平面DBC₁⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）直线A₁B与B₁C₁所成角为75°，就是直线A₁B与BC所成角为75°，
∵A₁A⊥平面ABC，AB=AC=1，∠BAC就是二面角B-AA₁-C的平面角，
∴∠A₁CB=75°，A₁A=2，则A₁B=A₁C=$\sqrt{5}$，
BO=A₁Bcos75°=$\frac{\sqrt{5}（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}{4}$，可得BC²=AB²+AC²-2ACABcos∠BAC．
可得：cos∠BAC=$\frac{2-\frac{5（\sqrt{6}-\sqrt{2}）^{2}}{4}}{2×1×1}$=$\frac{5\sqrt{3}-8}{2}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．