Question

已知数列{a_n}的前n项和为{S_n}，又有数列{b_n}满足关系b₁=a₁，对n∈N^*，有a_n+S_n=n，b_n+1=a_n+1-a_n
（1）求证：{b_n}是等比数列，并写出它的通项公式；
（2）是否存在常数c，使得数列{S_n+cn+1}为等比数列？若存在，求出c的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a_n+S_n=n，可求得2a_n+1=a_n+1，在a_n+S_n=n中令n=1可求得a₁，即b₁，由，可证明：{b_n}是等比数列，从而可得其通项公式；
（2）由可求得：a_n+b_n=a_n+a_n-a_n-1=2a_n-a_n-1，2a_n+1=a_n+1，可求得，可求得，问题即可解决．
解答：解：（1）由，又（3分）
∴，
∴数列{b_n}为等比数列，且（6分）
（2）a_n+b_n=a_n+a_n-a_n-1=2a_n-a_n-1，∴（8分）
∴（10分）
依题意，存在c=-1，使得数列{S_n+cn+1}为等比数列．   （12分）
点评：本题考查等比数列的通项公式，着重考查学生综合应用与转化的能力，属于难题．