Question

【题目】已知圆C方程为，椭圆中心在原点，焦点在x轴上.

（1）证明圆C恒过一定点M，并求此定点M的坐标；

（2）判断直线与圆C的位置关系，并证明你的结论；

（3）当时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点M，求此时椭圆方程；在x轴上是否存在两定点A，B使得对椭圆上任意一点Q（异于长轴端点），直线，的斜率之积为定值？若存在，求出A，B坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；定点（2）直线与圆C相切；证明见解析；（3）存在；，或者，

【解析】

（1）根据题意得到，解得答案.

（2）将圆化为标准形式，计算圆心到直线的距离与半径作比较得到答案.

（3）根据准线和椭圆过点计算得到，得到椭圆方程，设定点，，计算为定值，得到，计算得到答案.

（1）圆C的方程可化为：，

由，解得，所以圆C过定点.

（2）圆C的方程可化为：，

圆心到直线l的距离为，

所以直线与圆C相切.

（3）当时，圆C方程为，圆心为，半径为10，

与直线，即相切，所以椭圆的左准线为，

又椭圆过点，则，所以，解得，

所以椭圆方程为.

在椭圆上任取一点（），设定点，，

则对恒成立，

所以对恒成立，

所以，故或，

所以，或者，.