Question

已知函数y=|cosx+sinx|．
（1）画出函数在x∈[-

π

4

，

7π

4

]的简图；
（2）写出函数的最小正周期和单调递增区间；试问：当x为何值时，函数有最大值？最大值是多少？
（3）若x是△ABC的一个内角，且y²=1，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）化简函数y=|cosx+sinx|为

2

|sin(x+

π

4

)|，然后画出函数在x∈[-

π

4

，

7π

4

]的简图；
（2）直接求出函数的最小正周期和单调递增区间；结合图象容易推出，函数的最大值，以及x的值．
（3）x是△ABC的一个内角，且y²=1，求出x的值，从而判断△ABC的形状．

解答：解：（1）∵y=|cosx+sinx|=

2

|sin(x+

π

4

)|，当x∈[-

π

4

，

7π

4

]时，其图象如图所示．

（2）函数的最小正周期是π，其单调递增区间是[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]（k∈Z）．
由图象可以看出，当x=kπ+

π

4

（k∈Z）时，该函数的最大值是

2

．
（3）若x是△ABC的一个内角，则有0＜x＜π，
∴0＜2x＜2π．由y²=1，
得|cosx+sinx|²=1?1+sin2x=1．
∴sin2x=0，∴2x=π，x=

π

2

，
故△ABC为直角三角形．

点评：本题考查余弦函数的图象，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象，三角函数的最值，考查作图能力，计算能力，是中档题．