Question

设在平面上取定一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x轴的正半轴，以θ=

π

2

的射线作为y轴的正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立直角坐标系，已知曲线C的直角坐标方程为x²+y²=2，直线l的参数方程

x=1-t y=2t

（t为参数）．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程与曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）设平面上伸缩变换的坐标表达式为

X=2x Y=y

，求C在此变换下得到曲线C'的方程，并求曲线C′内接矩形的最大面积．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）把直线l的参数方程消去参数，化为直角坐标方程，曲线C的直角坐标方程为x²+y²=2，即ρ²=2，化简可得结果．
（Ⅱ）先求得曲线C在此变换下得到曲线C'的方程为 (

X

2

)2+Y²=2，再求得曲线C'的参数方程为

x=2 2 cosα Y= 2 sinα

，根据椭圆的对称性，曲线的内接矩形的面积为4|XY|=8|sin2α|，由此可得曲线的内接矩形的面积最大值．

解答： 解：（Ⅰ）把直线l的参数方程

x=1-t y=2t

（t为参数），消去参数，化为直角坐标方程为 2x+y-2=0．
曲线C的直角坐标方程为x²+y²=2，即 ρ²=2，即 ρ=

2

．
（Ⅱ）设平面上伸缩变换的坐标表达式为

X=2x Y=y

，
曲线C在此变换下得到曲线C'的方程为 (

X

2

)2+Y²=2，即

X2

8

+

Y2

2

=1．
曲线C'的参数方程为

x=2 2 cosα Y= 2 sinα

，根据椭圆的对称性，曲线的内接矩形的面积为4|XY|=8|sin2α|，
故当α=

π

4

时，曲线的内接矩形的面积最大为8．

点评：本题主要考查把参数方程、极坐标化为直角坐标方程的方法，曲线的伸缩变换，属于基础题．