Question

已知函数f（x）=1+a-4asinx-cos²x（a为常数，x∈[

π

6

，π]），求f（x）的最小值g（a）．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：利用换元法将函数转化为关于t的一元二次函数，讨论对称轴和区间的关系即可得到结论．

解答： 解：f（x）=1+a-4asinx-cos²x=f（x）=sin²x-4asinx+a，
令t=sinx，∵x∈[

π

6

，π]），∴t∈[0，1]，
则函数等价为y=t²-4at+a，对称轴为直线t=2a，
（1）若2a≤0即a≤0时，y=t²-4at+a在[0，1]内递增，
当t=0时，函数取得最小值，则此时最小值为g（a）=a．
（2）若0＜2a＜1，即0＜a＜

1

2

时．
当t=2a，函数取得最小值g（a）=4a²-8a²+a=a-4a²，
（3）若2a≥1，即a≥

1

2

时，y=t²-4at+a在[0，1]内递减，
当t=1，函数取得最小值g（a）=-3a+1，
 综上，g（a）=

a， a≤0 a-4a2， 0＜a＜ 1 2 -3a+1， a≥ 1 2

．

点评：本题主要考查函数最值的求解，利用换元法结合二次函数的性质是解决本题的关键．