Question

已知y=f（x）在R上的图象是一条连贯的曲线，且对于?∈R，f′（x）均存在，当x≠0时，f′（x）+

f(x)

x

＞0，则关于x的函数g（x）=f（x）+

1

x

的零点的个数为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：将求g（x）的零点个数转化为求xg（x）的最值问题，由已知求出h（x）=xg（x）＞0，得出g（x）＞0恒成立．

解答： 解：∵当x≠0时，f′（x）+

f(x)

x

＞0，
即

xf′(x)+f(x)

x2

＞0
令h（x）=xf（x）+1，
∴h′（x）=f（x）+xf′（x），
∴x＞0时，h（x）单调递增，
x＜0时，h（x）单调递减，
∴h（x）_min=h（0）=1＞0，
∴x≠0时，g（x）＞0恒成立，
故零点的个数是0个，
故答案为：0

点评：本题考查了函数的零点问题，渗透了转化思想，导数问题，函数的单调性问题，构造函数是解决本题的关键．