Question

已知x，y，z∈R⁺，且x+y+z=1，x²+y²+z²+λ

xyz

≤1恒成立，求λ的最大值．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：由题设条件得λ≤

1-(x2+y2+z2)

xyz

=

2(xy+yz+xz)

xyz

，求出右边的最小值，即可求λ的最大值．

解答： 解：由题设条件得λ≤

1-(x2+y2+z2)

xyz

=

2(xy+yz+xz)

xyz

据不等式（a+b+c）²≥3（ab+bc+ca）得（xy+yz+zx）²≥3xyz（x+y+z）=3xyz，
所以xy+yz+zx≥

3xyz

因此

2(xy+yz+xz)

xyz

≥2

3

所以只要λ≤2

3

即可，
所以λ的最大值为2

3

．

点评：本题考查基本不等式在最值问题中的应用，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．