Question

在“十一”期间，某电器专卖店设计了一项家用小型空调有奖促销活动，每购买一台空调，即可通过电脑产生一组3个数的随机数组，并根据下表兑奖：

奖次	一等奖	二等奖	三等奖
随机数组特征	3个8或3个1	只有2个8或只有2个1	只有一个8或只有1个1
奖金（单位：元）	4m	2m	m

商家为了解计划的可行性，以便估计奖金数，进行了随机模拟试验产生了20组随机数，每组三个数，试验结果如下：247，235，145，124，754，353，296，658，379，011，521，356，208，954，245，364，135，888，357，265．
（Ⅰ）在以上20组数中，随机抽取3组数，求至少有一组获奖的概率；
（Ⅱ）根据上述模拟试验的结果，将频率视为概率：
①若活动期间，某人购买3台空调，求恰好有一台中奖的概率；
②若本次活动计划平均每台空调的奖金不超过300元，求m的最大值．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：应用题,概率与统计

分析：（Ⅰ）利用对立事件的概率，即可求出随机抽取3组数，至少有1组获奖的概率；
（Ⅱ）①求出每购买一台空调获奖的概率，利用相互独立事件概率公式，可求恰好有一台中奖的概率；
②设ξ为获得奖金的数额，则ξ的可能取值为0，m，2m，5m，求出ξ的分布列，可得期望，利用本次活动平均每台电视的奖金不超过300元，即可求m的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）设“在以上模拟的20组数中，随机抽取3组数，至少有1组获奖”为事件A，则
由数组知，没中奖的组数为12，∴P（A）=1-

C 3 12

C 3 20

=

46

57

（Ⅱ）①由题意得，每购买一台空调获奖的概率为P=

8

20

=

2

5

，
设“购买3台空调，恰有一台获奖”为事件B，则P（B）=

C

1 3

•

2

5

•(

3

5

)2=

54

125

．
②设“购买一台空调获一等奖”为事件A₁，“购买一台空调获二等奖”为事件A₂，“购买一台空调获三等奖”为事件A₃，则P（A₁）=

1

20

，P（A₂）=

1

20

，P（A₃）=

6

20

设ξ为购买一台空调获得奖金是数额，则ξ的可能取值为0，m，2m，4m，则ξ的分布列为

ξ	0	m	2m	4m
P	12 20	6 20	1 20	1 20

∴Eξ=0+

6m

20

+

2m

20

+

4m

20

=

3

5

m
∵Eξ=

3

5

m≤300，
∴m≤50，
∴m的最大值为500．

点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的期望与方差，确定变量的取值，求出相应的概率是关键．