Question

已知函数f（x）=ae^x+

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x²+bx，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线为y-1=0．
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）若m为整数，且当x＞ln2时，（x-m）（f′（x）-x-1）+2x+1＞0，求m的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求f（x）的解析式及单调区间；
（2）求函数的表达式，姜不等式恒成立转化为求函数的最值问题，解不等式即可得到结论．

解答： 解：（1）函数f（x）的导数为f′（x）=ae^x+x+b，
∵直线y-1=0的斜率为0，且过点（0，1），
∴

f(0)=1 f′(0)=0

，即

a=1 a+b=0

，解得a=1，b=-1．
∴f（x）的解析式为f（x）=e^x+

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2

x²-x，
∵f′（x）=e^x+x-1，
∴当x＜0时，f′（x）=e^x+x-1＜0，此时函数单调递减，
当x＞0时，f′（x）=e^x+x-1＞0，此时函数单调递增，
即函数的增区间为（0，+∞），减区间为（-∞，0）．
（2）∵（x-m）（f′（x）-x-1）+2x+1=（x-m）（e^x-2）+2x+1，
故当x＞ln2时，（x-m）（f′（x）-x-1）+2x+1＞0，等价为，m＜

2x+1

ex-2

+x，（x＞ln2），①，
令g（x）=

2x+1

ex-2

+x，（x＞ln2），
则g′（x）=

-2xex+ex-4

(ex-2)2

+1=

ex(ex-2x-3)

(ex-2)2

．
令h（x）=e^x-2x-3，则h′（x）=e^x-2，
∵x＞ln2，∴h′（x）=e^x-2＞0，
即h（x）在（ln2，+∞）上存在唯一的零点，
故g′（x）在（ln2，+∞）上存在唯一的零点，
设此零点为a，则a∈（1，2），
当x∈（ln2，a）时，g′（x）＜0，
当x∈（a，+∞）时，g′（x）＞0，
故g（x）在（ln2，+∞）上的最小值为g（a），
由g′（a）=0，可得e^a=2a+3，
∴g（a）=a+1∈（2，3），
由于①等价于m＜g（a），故m的最大值是2．

点评：本题主要考查函数单调性的判断，根据函数单调性和导数之间的关系，进行求导是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．