Question

如图，AA₁、BB₁为圆柱OO₁的母线，BC是底面圆O的直径，D、E分别是AA₁、CB₁的中点，AB=AC．
（Ⅰ）证明：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）证明：平面B₁DC⊥平面CBB₁．
（Ⅲ）若BB₁=BC，求二面角A₁-B₁C-B的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连接EO、OA，由已条条件推导出四边形AOED是平行四边形，由此能证明DE∥平面ABC．
（Ⅱ）由已知条件条件出AO⊥平面BB₁C，从而得到DE⊥平面BB₁C，由此能证明平面B₁DC⊥平面CBB₁．
（Ⅲ）作过C的母线CC₁，连接B₁C₁，连接A₁O₁，过O₁作O₁H⊥B₁C，连接A₁H，由已知条件推导出∠A₁HO₁为二面角A₁-B₁C-B平面角的补角，由此能求出平面A₁B₁C与平面BB₁C所成二面角A₁-B₁C-B的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：如图，连接EO、OA．
∵E、O分别为CB₁、BC的中点，∴EO是△BB₁C的中位线，
∴EO∥BB₁且EO=

1

2

BB1．
又DA∥BB₁且DA=

1

2

BB1=EO，∴DA∥EO且DA=EO，
∴四边形AOED是平行四边形，即DE∥OA，
又DE?平面ABC，OA?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．…（4分）
（Ⅱ）证明：∵AB=AC，BC为直径，∴AO⊥BC，
又BB₁⊥AO，从而AO⊥平面BB₁C，
∵DE∥AO，∴DE⊥平面BB₁C，DE?平面B₁DC，
∴平面B₁DC⊥平面CBB₁…（8分）
（Ⅲ）解：如图，作过C的母线CC₁，连接B₁C₁，
则B₁C₁是上底面圆O₁的直径，连接A₁O₁，
则A₁O₁∥AO，又AO⊥平面CBB₁C₁，
∴A₁O₁⊥平面CBB₁C₁，过O₁作O₁H⊥B₁C，
连接A₁H，则A₁H⊥B₁C，所以∠A₁HO₁为二面角A₁-B₁C-B平面角的补角．…（10分）
∵BB₁=BC，∴BB₁C₁C为正方形，∠O1B1C =450，∴O1H=O1B1•sin450=

2

2

r（r为圆柱半径），
∴在Rt△A₁O₁H中，cos∠A1HO1=

O1H

A1H

=

2 2 r

r2+( 2 2 r)2

=

3

3

．
∴平面A₁B₁C与平面BB₁C所成二面角A₁-B₁C-B的余弦值是-

3

3

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．