Question

已知椭圆C：

x2

a2

+y2=1经过点P（1，

2

2

）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程及其离心率；
（Ⅱ）过椭圆右焦点F的直线（不经过点P）与椭圆交于A、B两点，当∠APB的平分线为PF时，求直线AB的斜率k．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用椭圆C：

x2

a2

+y2=1经过点P（1，

2

2

），求出a，可得求椭圆C的方程及其离心率；
（Ⅱ）记PA、PB的斜率分别为k₁、k₂．所以，PA、PB的斜率满足k₁+k₂=0，设直线AB方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，利用韦达定理进行计算，即可求直线AB的斜率k．

解答： 解：（Ⅰ）把点P(1 ，

2

2

)代入

x2

a2

+y2=1，可得a²=2．
故椭圆的方程为

x2

2

+y2=1，
所以c=1，椭圆的离心率为e=

1

2

．　…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：F（1，0）．
当∠APB的平分线为PF时，由P(1 ，

2

2

)和F（1，0）知：PF⊥x轴．
记PA、PB的斜率分别为k₁、k₂．所以，PA、PB的斜率满足k₁+k₂=0…（6分）
设直线AB方程为y=k（x-1），代入椭圆方程

x2

2

+y2=1并整理可得，（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2(k2-1)

1+2k2

又P(1 ，

2

2

)，则k1=

2 2 -y1

1-x1

 =

2 2 -k(x1-1)

1-x1

=

2 2

1-x1

+k，k2=

2 2 -y2

1-x2

=

2 2 -k(x2-1)

1-x2

=

2 2

1-x2

+k．…（8分）
所以k₁+k₂=

2 2 -y1

1-x1

 +

2 2 -y2

1-x2

=

y1

x1-1

+

y2

x2-1

-

2

2

•

x1+x2-2

x1x2-(x1+x2)+1

=2k-

2

2

•

4k2 1+2k2 -2

2(k2-1) 1+2k2 - 4k2 1+2k2 +1

=2k-

2

…（11分）
即2k-

2

=0．
所以k=

2

2

．             …（13分）

点评：本题考查椭圆的基本知识，直线和椭圆的位置关系等知识点，解题时要认真审题，仔细解答，合理地进行等价转化．