Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1，n∈N^*
（Ⅰ）证明列{a_n+1}为等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn，n∈N^*．证明：数列{b_n}是等差数列．
（Ⅲ）证明：

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

，n∈N^*．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件得a_n+1+1=2（a_n+1），且a₁+1=2，所以{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，由此能求出an=2n-1，n∈N^*．
（Ⅱ）由已知条件得4b1+b2+…+bn-n=2nbn，从而得到2[（b₁+b₂+…+b_n）-n]=nb_n，进而得2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n，由此得到b_n+2+b_n=2b_n+1，从而证明数列{b_n}为等差数列．
（Ⅲ）由

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

1

2

-

1

2(2k+1-1)

＜

1

2

，能证明

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

，n∈N*．

解答： （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：因为an+1=2an+1，n∈N*，
所以a_n+1+1=2（a_n+1），且a₁+1=2，
所以{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．…（2分）
∴an+1=2n，
∴an=2n-1，n∈N^*．…（3分）
（Ⅱ）证明：因为4b1-14b2-1•…•4bn-1=(an+1)bn，
所以4b1+b2+…+bn-n=2nbn，…（4分）
所以2[（b₁+b₂+…+b_n）-n]=nb_n①
2[（b₁+b₂+…+b_n+b_n+1）-（n+1）]=（n+1）b_n+1②…（6分）
②-①，得2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n
即（n-1）b_n+1-nb_n+2=0③
nb_n+2-（n+1）b_n+1+2=0④…（8分）
④-③，得nb_n+2-2nb_n+1+nb_n=0，
即 b_n+2+b_n=2b_n+1
得b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n，n∈N^*…（10分）
所以数列{b_n}为等差数列．
（Ⅲ）证明因为

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

1

2

-

1

2(2k+1-1)

＜

1

2

，k=1，2，…，n．…（11分）
所以

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

，n∈N*．…（12分）

点评：本题考查等比数列和等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意放缩法的合理运用．