Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分别为所在边的中点，O为面对角线A₁C₁的中点．
（1）求证：面MNP∥面A₁C₁B．
（2）求证：OM⊥面A₁BC₁．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,平面与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结D₁C，由三角形中位线定理得MN∥D₁C，MP∥C₁B，由此能证明面MNP∥面A₁C₁B．
（2）连结C₁M和A₁M，设正方体的边长为a，连结BO和BM，由勾股定理得BO⊥MO．由此能证明MO⊥面A₁C₁B．

解答： 证明：（1）连结D₁C，MN为△DD₁C的中位线，∴MN∥D₁C．…（2分）
又∵D₁C∥A₁B∴MN∥A₁B．同理MP∥C₁B．…（4分）
而MN与MP相交，MN，MP?面MNP，A₁B，A₁B?面A₁C₁B．
∴面MNP∥面A₁C₁B．…（6分）
（2）连结C₁M和A₁M，设正方体的边长为a，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，∴C₁M=A₁M，
又∵O为A₁C₁的中点，
∴A₁C₁⊥MO…（8分）
连结BO和BM，在三角形BMO中，
OB=

6

2

a，MO=

3

2

a，BM=

3

2

a，
∴OB²+MO²=MB²，
即BO⊥MO．而A₁C₁，BO?面A₁C₁B，
∴MO⊥面A₁C₁B．…（12分）

点评：本题考查面面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．