Question

如图，在四面体AOCB中，∠AOB=∠AOC=∠BOC=90°，OA=a，OB=b，OC=c，直角顶点O在底面ABC上的射影是H，则下列命题正确的有

 

．（写出所有正确命题的序号）
①底面△ABC是锐角三角形；
②四面体AOCB的对棱互相垂直；
③四面体AOCB的外接球半径R=

1

2

a2+b2+c2

；
④点H是△ABC的垂心；
⑤

2

OH2

=

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

．

Answer 1

考点：空间中直线与直线之间的位置关系,棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：①由向量的数量积能求出底面△ABC是锐角三角形；②由题意利用线面垂直能求出OB⊥AC，OA⊥BC，OC⊥AB；③以点O为长方体的一个顶点，OA、OB、OC为长方体的三棱作长方体，则四面体OABC的外接球就是长方体的外接球；④由已知条件能推导出BC⊥AH，CH⊥AB，所以H是△ABC的垂心；⑤由已知条件推导出

1

OH2

=

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

．

解答： 解：①

AB

•

AC

=(

OB

-

OA

)•(

OC

-

OA

)=

OA

2=|

OA

|2＞0，
知A为锐角，同理B，C也是锐角，故①正确；
②由题意知OB⊥平面OAC，从而OB⊥AC，
同理可得：OA⊥BC，OC⊥AB，故②正确；
③以点O为长方体的一个顶点，OA、OB、OC为长方体的三棱作长方体，
则四面体OABC的外接球就是长方体的外接球，
且R=

1

2

a2+b2+c2

，故③正确．
④连结AH，并延长交BC于D，连结OD，OH⊥平面ABC，
OA⊥BC，所以BC⊥AH，同理，CH⊥AB，
所以H是△ABC的垂心，故④正确．
⑤在直角△AOD中，AO•OD=OH•AD，AO²•OD²=OH²•（AO²+OD²），

1

OH2

=

1

OA2

+

1

OD2

，同理，在△BOC中，

1

OD2

=

1

OB2

+

1

OC2

，
所以

1

OH2

=

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

，故⑤错误．
故答案为：①②③④．

点评：本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．