Question

若a＞1，设函数f（x）=a^x+x-4的零点为m，g（x）=log_ax+x-4的零点为n，则

1

m

+

1

n

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,基本不等式

专题：函数的性质及应用

分析：构建函数F（x）=a^x，G（x）=log_ax，h（x）=4-x，则h（x）与F（x），G（x）的交点A，B的横坐标分别为m、n，注意到F（x）=a^x，G（x）=log_ax，关于直线y=x对称，可得m+n=4，再用“1”的代换，利用基本不等式，即可得出结论．

解答： 解：由题意，构建函数F（x）=a^x，G（x）=log_ax，h（x）=4-x，
则h（x）与F（x），G（x）的交点A，B的横坐标分别为m、n．
注意到F（x）=a^x，G（x）=log_ax，关于直线y=x对称，可以知道A，B关于y=x对称，
由于y=x与y=4-x交点的横坐标为2，∴m+n=4．
则

1

m

+

1

n

=

1

4

（

1

m

+

1

n

）（m+n）=

1

4

（2+

n

m

+

m

n

）≥

1

4

（2+2）=1，
当且仅当m=n=2时，等号成立，故

1

m

+

1

n

的最小值为1，
故答案为：1．

点评：本题考查函数的零点，考查基本不等式的运用，考查学生分析转化问题的能力，求出m+n=4，正确运用基本不等式是关键，属于基础题．