Question

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示．
（1）求证：AE⊥平面BCD；
（2）求二面角A-DC-B的余弦值；
（3）已知点M在线段AF上，且EM∥平面ADC，求

AM

AF

的值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，AE⊥BD于E，能证明AE⊥平面BCD．
（2）以E为坐标原点，分别以EF、ED、EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，利用向量法能求出二面角A-DC-B的余弦值．
（3）设

AM

=λ

AF

，利用向量法能求出在线段AF上存在点M使EM∥平面ADC，且

AM

AF

=

3

4

．

解答： （1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，
又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE?平面ABD，
∴AE⊥平面BCD．
（2）解：由（1）知AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF，
由题意知EF⊥BD，又AE⊥BD，
如图，以E为坐标原点，分别以EF、ED、EA所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系E-xyz，
设AB=BD=DC=AD=2，
则BE=ED=1，∴AE=

3

，BC=2

3

，BF=

3

3

，
则E（0，0，0），D（0，1，0），B（0，-1，0），A（0，0，

3

），
F（

3

3

，0，0），C（

3

，2，0），

DC

=(

3

，1，0)，

AD

=(0，1，

3

)，
由AE⊥平面BCD知平面BCD的一个法向量为

EA

=(0，0，

3

)，
设平面ADC的一个法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • DC = 3 x+y=0 n • AD =y- 3 z=0

，
取x=1，得

n

=(1，-

3

，-1)，
∴cos＜

n

，

EA

＞=-

5

5

∴二面角A-DC-B的余弦值为

5

5

．
（3）设

AM

=λ

AF

，其中λ∈[0，1]，
∵

AF

=(

3

3

，0，-

3

)，∴

AM

=λ

AF

=λ(

3

3

，0，-

3

)，
∴

EM

=

EA

+

AM

=(

3

3

λ，0，(1-λ)

3

)，
由

EM

•

n

=0，得

3

3

λ-(1-λ)

3

=0，解得λ=

3

4

∈[0，1]，
∴在线段AF上存在点M使EM∥平面ADC，且

AM

AF

=

3

4

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．