Question

3．函数f（x）=sinx+tanx，则使不等式f（sinθ）+f（cosθ）≥0成立的θ取值范围是（　　）

• A． [2kπ+$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{5π}{4}$]（k∈Z）
• B． [2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]（k∈Z）
• C． [2kπ-$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$]（k∈Z）
• D． [2kπ+$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{7π}{4}$]（k∈Z）

Answer 1

分析 由函数f（x）=sinx+tanx是奇函数，且在（$-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$）上为增函数，把不等式f（sinθ）+f（cosθ）≥0转化为sinθ+cosθ≥0，然后求解三角不等式得答案．

解答 解：∵-1≤sinθ≤1，-1≤cosθ≤1，
而当-$\frac{π}{2}$＜x＜$\frac{π}{2}$时，函数f（x）=sinx+tanx是增函数，且函数f（x）=sinx+tanx是奇函数，
∴由不等式f（sinθ）+f（cosθ）≥0，得f（sinθ）≥-f（cosθ）=f（-cosθ），
即sinθ≥-cosθ，
∴sinθ+cosθ≥0，
∴sin（θ+$\frac{π}{4}$）≥0，
则2kπ≤$θ+\frac{π}{4}$≤2kπ+π，k∈Z．
解得：2kπ-$\frac{π}{4}$≤θ≤2kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z．
∴使不等式f（sinθ）+f（cosθ）≥0成立的θ取值范围是[2kπ-$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$]（k∈Z）．
故选：C．

点评 本题考查三角函数的性质，考查了三角不等式的解法，体现了数学转化思想方法，是中档题．