Question

11．正项数列{a_n}的前n项和S_n满足12S_n=${a}_{n}^{2}$+6a_n+5．且a₁＜2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使T_n＜$\frac{m}{20}$对所有n∈N^*都成立的最小正整数m；
（3）记C_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$）（n∈N^*），求和：B_n=C₁+C₂+…+C_n．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，当n≥2时，由12S_n=a_n²+6a_n+5化简可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）-6（a_n+a_n-1）=0，从而可得数列{a_n}是以1为首项，6为公差的等差数列，从而求得；
（2）化简b_n=$\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{（6n-5）（6n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$），从而求和，从而解得；
（3）化简C_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{6n+1}{6n-5}$+$\frac{6n-5}{6n+1}$）=1+3（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$），从而求和．

解答 解：（1）当n=1时，12a₁=a₁²+6a₁+5，
解得，a₁=1或a₁=5（舍去）；
当n≥2时，12S_n=a_n²+6a_n+5，12S_n-1=a_n-1²+6a_n-1+5，
两式作差可得，
12a_n=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）+6（a_n-a_n-1），
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）+6（a_n-a_n-1）-12a_n=0，
故（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）-6（a_n+a_n-1）=0，
故a_n-a_n-1-6=0，
故数列{a_n}是以1为首项，6为公差的等差数列，
故a_n=1+6（n-1）=6n-5；
（2）b_n=$\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{（6n-5）（6n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$），
故T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{7}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{13}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{6n+1}$）=$\frac{3n}{6n+1}$，
故只需使$\frac{1}{2}$≤$\frac{m}{20}$，
故m的最小值为10；
（3）C_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{6n+1}{6n-5}$+$\frac{6n-5}{6n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{6}{6n-5}$+1-$\frac{6}{6n+1}$）
=1+3（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$），
B_n=C₁+C₂+…+C_n
=n+3（1-$\frac{1}{7}$）+3（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{13}$）+…+3（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$）
=n+3（1-$\frac{1}{6n+1}$）=n+3-3$\frac{1}{6n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的判断及性质，同时考查了分类讨论的思想与裂项求和法的应用，属于中档题．