Question

16．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x（x＞0）}\\{a（x=0）}\\{{x}^{2}+bx（x＜0）}\end{array}\right.$为奇函数．
（1）求a，b的值，并写出函数的单调区间；
（2）解不等式f（x）＞f（-2）

Answer 1

分析 （1）由奇函数的特点可知f（0）=0．f（-1）=-f（1），列出方程解出a，b；作出函数图象得出f（x）的单调区间；
（2）根据函数的图象得出答案．

解答 解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，f（-1）=-f（1）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{1-b=-1}\end{array}\right.$，∴a=0，b=2．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x（x＞0）}\\{0（x=0）}\\{{x}^{2}+2x（x＜0）}\end{array}\right.$．
作出f（x）的函数图象如图：

∴f（x）的增区间为（-1，1），减区间为（-∞，-1），（1，+∞）．
（2）∵f（x）＞f（-2）=0，
由函数图象可知x＜-2或0＜x＜2．

点评 本题考查了函数奇偶性的性质，分段函数的图象与性质，作出f（x）的图象是快速解决问题的方法，属于基础题．