Question

1．已知函数f（x）=$\frac{（1-a）}{6}$x³+$\frac{1}{2}$ax²-$\frac{3}{2}$x（a∈R），g（x）=lnx-$\frac{3}{2}$．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），记φ（x）=f′（x）-g（x）．证明：对任意a∈（2，3），x₁，x₂∈[1，2]时，不等式|φ（x₁）-φ（x₂）|＜ln2恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，可得所求切线的方程；
（2）求得f（x）的导数，及φ（x）=f′（x）-g（x）的导数，判断单调性，可得最值，求出|φ（x₁）-φ（x₂）|≤φ（x）_max-φ（x）_min=φ（1）-φ（2），再与ln2比较即可得证．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=-$\frac{1}{6}$x³+x²-$\frac{3}{2}$x的导数为
f′（x）=-$\frac{1}{2}$x²+2x-$\frac{3}{2}$，
即有y=f（x）在x=1处的切线斜率为k=-$\frac{1}{2}$+2-$\frac{3}{2}$=0，
切点为（1，-$\frac{1}{6}$+1-$\frac{3}{2}$）即为（1，-$\frac{2}{3}$），
可得y=f（x）在x=1处的切线方程为y=-$\frac{2}{3}$；
（2）证明：函数f（x）=$\frac{（1-a）}{6}$x³+$\frac{1}{2}$ax²-$\frac{3}{2}$x的导数为f′（x）=$\frac{1-a}{2}$x²+ax-$\frac{3}{2}$，
φ（x）=f′（x）-g（x）=$\frac{1-a}{2}$x²+ax-lnx，
φ′（x）=（1-a）x+a-$\frac{1}{x}$=-$\frac{（a-1）（x-1）（x-\frac{1}{a-1}）}{x}$，
由2＜a＜3，可得$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{a-1}$＜1，x∈[1，2]时，φ′（x）≤0，
可得φ（x）在[1，2]递减，
即有|φ（x₁）-φ（x₂）|≤φ（x）_max-φ（x）_min=φ（1）-φ（2）=$\frac{1-a}{2}$+a-（2-2a+2a-ln2）
=$\frac{a-3}{2}$+ln2＜ln2．
则有对任意a∈（2，3），x₁，x₂∈[1，2]时，
不等式|φ（x₁）-φ（x₂）|＜ln2恒成立．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的单调性，考查转化思想的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．