Question

13．已知函数f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx．
①求f（x）的最小值及取得最小值时相应的x值；
②若x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{12}$]．求满足f（x）=1的x值．

Answer 1

分析 ①由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），易得函数f（x）的最小值和x值；
②由已知角的范围可得2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，再由sin（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$可得2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$，解方程可得．

解答 解：①f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
=2cosx（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
=$\sqrt{3}$（cos²x-sin²x）+2sinxcosx
=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
当2x+$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{2}$即x=kπ-$\frac{5π}{12}$（k∈Z）时，
函数f（x）取最小值-2；
②∵x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{12}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，
由f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）=1可得sin（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
∴2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$，解得x=$\frac{π}{4}$

点评 本题考查三角函数恒等变换及其应用，涉及三角函数的最值，属基础题．