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    【题目】已知函数．

    （Ⅰ）若在处取极值，求在点处的切线方程；

    （Ⅱ）当时，若有唯一的零点，求证：

    【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.

    【解析】试题分析：

    本题考查导数的几何意义及导数在研究函数单调性、极值中的应用。（Ⅰ）根据函数在处取极值可得，然后根据导数的几何意义求得切线方程即可。（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，令，可得在上单调递减，在上单调递增。结合函数的单调性和函数值可得在上有唯一零点，设为，证明即可得结论。

    试题解析：

    （Ⅰ）∵，

    ，

    ∵在处取极值，

    ∴，解得.

    ,

    ,

    又.

    ∴在点处的切线方程为,

    即

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，

    令，

    则

    由，可得

    在上单调递减，在上单调递增。

    又，故当时， ；

    又，故在上有唯一零点，设为，

    从而可知在上单调递减，在上单调递增，

    因为有唯一零点，

    故且

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