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在平面直角坐标系中,已知圆心在轴上,半径为的圆位于轴的右侧,且与轴相切,
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)若椭圆的离心率为,且左右焦点为,试探究在圆上是否存在点,使得为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)

(Ⅰ);(Ⅱ),圆上存在4个点,使得为直角三角形.

解析试题分析:(Ⅰ)求圆的方程,只要求出圆心与半径即可,而已知圆的半径为,圆心在轴上,圆位于轴的右侧,且与轴相切,故圆心为,从而可得圆的方程;(Ⅱ)探究在圆上是否存在点,使得为直角三角形,首先求出的坐标,而是椭圆的左右焦点,须求出椭圆的方程,由题意椭圆的离心率为,可求得,,可得为直角三角形,有圆的方程可知,只需过轴的垂线,与圆的两个交点符合题意,过可作圆的两条切线,与圆的两个切点也符合,从而找到点.
试题解析:(Ⅰ)依题意,设圆的方程为(x-a)2+y2=16(a>0). (1分)
∵圆与y轴相切,∴a=4,∴圆的方程为(x-4)2+y2=16  (4分)
(Ⅱ)∵椭圆=1的离心率为,∴e===
解得b2=9            (6分)
∴c==4,∴F1(-4,0),F2(4,0)     (7分)
∴F2(4,0)恰为圆心C        (8分)
(i)过轴的垂线,交圆P1,P2,则∠P1F2F1=∠P2F2F1=90°,符合题意;(10分)
(ii)过F1可作圆的两条切线,分别与圆相切于点P3,P4
连接CP3,CP4,则∠F1P3F2=∠F1P4F2=90°,符合题意.   (12分)
综上,圆C上存在4个点P,使得△PF1F2为直角三角形.   (13分)
考点:圆的方程,椭圆方程,探索性问题.

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