在平面直角坐标系中,已知圆心在轴上,半径为的圆位于轴的右侧,且与轴相切,
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)若椭圆的离心率为,且左右焦点为,试探究在圆上是否存在点,使得为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)
(Ⅰ);(Ⅱ),圆上存在4个点,使得为直角三角形.
解析试题分析:(Ⅰ)求圆的方程,只要求出圆心与半径即可,而已知圆的半径为,圆心在轴上,圆位于轴的右侧,且与轴相切,故圆心为,从而可得圆的方程;(Ⅱ)探究在圆上是否存在点,使得为直角三角形,首先求出的坐标,而是椭圆的左右焦点,须求出椭圆的方程,由题意椭圆的离心率为,,可求得,,可得,为直角三角形,有圆的方程可知,只需过作轴的垂线,与圆的两个交点符合题意,过可作圆的两条切线,与圆的两个切点也符合,从而找到点.
试题解析:(Ⅰ)依题意,设圆的方程为(x-a)2+y2=16(a>0). (1分)
∵圆与y轴相切,∴a=4,∴圆的方程为(x-4)2+y2=16 (4分)
(Ⅱ)∵椭圆=1的离心率为,∴e===
解得b2=9 (6分)
∴c==4,∴F1(-4,0),F2(4,0) (7分)
∴F2(4,0)恰为圆心C (8分)
(i)过作轴的垂线,交圆P1,P2,则∠P1F2F1=∠P2F2F1=90°,符合题意;(10分)
(ii)过F1可作圆的两条切线,分别与圆相切于点P3,P4,
连接CP3,CP4,则∠F1P3F2=∠F1P4F2=90°,符合题意. (12分)
综上,圆C上存在4个点P,使得△PF1F2为直角三角形. (13分)
考点:圆的方程,椭圆方程,探索性问题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成,两相接点M,N均在直线x=5上.圆弧C1的圆心是坐标原点O,半径为13;圆弧C2过点A(29,0).
(1)求圆弧C2的方程.
(2)曲线C上是否存在点P,满足PA=PO?若存在,指出有几个这样的点;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知圆心为C的圆,满足下列条件:圆心C位于x轴正半轴上,与直线3x-4y+7=0相切,且被轴截得的弦长为,圆C的面积小于13.
(Ⅰ)求圆C的标准方程;
(Ⅱ)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A,B,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l,使得直线OD与MC恰好平行?如果存在,求出l的方程;如果不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知圆C:,其中为实常数.
(1)若直线l:被圆C截得的弦长为2,求的值;
(2)设点,0为坐标原点,若圆C上存在点M,使|MA|="2" |MO|,求的取值范围.
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