Question

如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠ABC=∠CAD=90°，且PA=AB=BC，点E是棱PB上的动点．
（Ⅰ）当PD∥平面EAC时，确定点E在棱PB上的位置；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角A﹣CE﹣P余弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=，
∴∠DCA=∠BAC=．又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形．
∴DC=AC=（AB）=2AB．
连接BD，交AC于点M，则
∵PD∥平面EAC，又平面EAC∩平面PDB=ME，∴PD∥EM
在△BPD中，，
即PE=2EB时，PD∥平面EAC
（Ⅱ）以A为原点，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴，
如图1建立空间直角坐标系．
设PA=AB=BC=a，
则A（0，0，0），B（0，a，0），C（a，a，0），P（0，0，a），E（0，，）．
设，为平面EAC的一个法向量，
则⊥，⊥，
∴，解得x=，y=﹣，
∴=（，﹣，1）．
设=（，，1）为平面PBC的一个法向量，
则⊥，⊥，
又=（a，0，0），=（0，﹣a，a），
∴，解得x'=0，y'=1，
∴=（0，1，1）．∴cos，＞
∴二面角A﹣CE﹣P的余弦值为
．