Question

（本题满分14分）在数列中，时，其前项和满足：.

（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并用表示；

（Ⅱ）令，数列的前项和为求使得对所有都成立的实数的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）实数的取值范围为.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求证：数列是等差数列，只需证明等于一个与无关的常数，由已知，，只需将式子中的换成得，，两边同除以即可，用表示，因为数列是以为首项，为公差的等差数列，可写出数列的通项公式，从而可得数列的通项公式； （Ⅱ）求使得对所有都成立的实数的取值范围，将式子整理为，只需求出的最大值，须求出的解析式，首先求出数列的通项公式，由，可用拆项相消法求得的解析式，进而可得实数的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）当时，

，即数列是等差数列，首项，公差

（Ⅱ）

由题即

对于所有都成立

设由题

函数在上是减函数，在上是增函数

故数列从第二项起递减，而，

满足题意的实数的取值范围为.

考点：等差数列的判断，求数列的通项公式.