Question

如图，设P是圆x²＋y²＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.

(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；

(2)求过点(3,0)且斜率为的直线l被C所截线段的长度．

Answer 1

解　(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x_P，y_P)，

因为点D是P在x轴上投影M为PD上一点，且|MD|＝|PD|，所以x_P＝x，且y_P＝y，

∵P在圆x²＋y²＝25上，

∴x²＋²＝25，整理得＋＝1，

即C的方程是＋＝1.

(2)过点(3,0)且斜率为的直线l的方程是y＝(x－3)，

设此直线与C的交点为A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程＋＝1得：

＋＝1，化简得x²－3x－8＝0，

∴x₁＝，x₂＝，

所以线段AB的长度是|AB|＝＝＝，即所截线段的长度是.