Question

已知集合A={x|

6

x+1

＞1，x∈R}，B={x|x²+（1-m）x-m＜0，x∈R}．
（1）若A∩B={x丨-1＜x＜4}，求实数m的值；
（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先化简集合A，再利用交集运算即可得出集合B，利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的两个实数根的关系即可得出．
（2）由于A∪B=A，可得B⊆A．分类讨论①B=∅时，△≤0，解出即可；②B≠∅时x²+（1-m）x-m＜0，化为（x+1）（x-m）＜0，可得-1＜x＜m或m＜x＜-1（舍去），利用B⊆A即可得出．

解答：解：（1）对于集合A：由

6

x+1

＞1，化为

x-5

x+1

＜0，化为（x+1）（x-5）＜0，解得-1＜x＜5，
∴A={x|-1＜x＜5}；
∵A∩B={x丨-1＜x＜4}，∴B={x|-1＜x＜4}．
因此-1与4是x²+（1-m）x-m=0的两个实数根，∴-1×4=-m，解得m=4．
故m=4．
（2）∵A∪B=A，
∴B⊆A．
①B=∅时，△=（1-m）²+4m≤0，化为（1+m）²≤0，此时m=-1；
②B≠∅时x²+（1-m）x-m＜0，化为（x+1）（x-m）＜0，
∴-1＜x＜m或m＜x＜-1（舍去）
∵（-1，m）⊆（-1，5）
∴-1≤m≤5．
综上可知：m的取值范围是[-1，5]．

点评：熟练掌握一元二次不等式的解法、分类讨论的思想方法、集合的运算及其关系是解题的关键．