Question

已知圆,圆内有定点,圆周上有两个动点，，使，则矩形的顶点的轨迹方程为．

Answer 1

试题分析：设A（），B（），Q（），又P（1，1），
则，，＝()，
＝()．
由PA⊥PB，得
•＝0，即（x₁-1）（x₂-1）+（y₁-1）（y₂-1）=0．
整理得：x₁x₂+y₁y₂-（x₁+x₂）-（y₁+y₂）+2=0，
即x₁x₂+y₁y₂=x+1+y+1-2=x+y①
又∵点A、B在圆上，∴x₁²+y₁²＝x₂²+y₂²＝4②
再由|AB|=|PQ|，得(x₁?y₁)²+(x₂?y₂)²＝(x?1)²+(y?1)²，
整理得：x₁²+y₁²+x₂²+y₂²?2(x₁y₁+x₂y₂)＝(x?1)²+(y?1)²③
把①②代入③得：x²+y²=6．
∴矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为：x²+y²=6．
故答案为：x²+y²=6．.