Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=n-a_n，n∈N^*．
（Ⅰ）证明数列{a_n-1}是等比数列；
（Ⅱ）设c_n=-2na_n+2n，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜4．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵n=1时，S₁=1-a₁，即a₁=1-a₁，a₁=．
∵S_n=n-a_n，∴S_n-1=n-1-a_n-1，n＞1．
两式相减，得a_n=a_n-1+．…（3分）
a_n-1=（a_n-1-1）．
从而{a_n-1}为等比数列，首项a₁-1=-，公比为．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n-1=．从而a_n=．…（8分）
∵c_n=-2na_n+2n，∴=，
∴．…（10分）
从而，
两式相减，得．
-=．
∴T_n＜4．…（13分）
分析：（Ⅰ）求出a₁，然后利用a_n=S_n-S_n-1得到a_n与a_n-1的关系，化简为数列{a_n-1}中任意相邻两项之间的关系，通过等比数列的定义证明数列是等比数列；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）求出数列的通项公式，结合c_n=-2na_n+2n，求出数列{c_n}的前n项和为T_n的表达式，利用错位相减法求出数列的前n项和，即可求证：T_n＜4．
点评：证明数列是等差数列还是等比数列，常用数列的定义证明，在第二问中，错位相减法是数列求和的常用方法，注意构造法在数列中的应用．