Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，4），离心率e=

5

5

，直线l交椭圆于M，N两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l的方程为y=x-4，求弦MN的长．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）直接利用已知条件求解椭圆的几何量，然后求椭圆的方程；
（2）直线l的方程为y=x-4，联立方程组，求出交点坐标即可求弦MN的长．

解答： （本题满分12分）
解　（1）由已知得b=4，且

c

a

=

5

5

，--------------2 分
即

c2

a2

=

1

5

，∴

a2-b2

a2

=

1

5

，解得a²=20，----------（4分）
∴椭圆方程为

x2

20

+

y2

16

=1．---------------------（6分）
（2）4x²+5y²=80与y=x-4联立，消去y得9x²-40x=0，----------（8分）
∴x₁=0，x₂=

40

9

，------------------------------（10分）
∴所求弦长|MN|=

1+1

|x₂-x₁|=

40 2

9

．---------------------------（12分）

点评：本题考查椭圆的求法，直线与椭圆的位置关系，基本知识的考查．