Question

【题目】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，AB＝AD，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，

且．

(1)证明：EF∥平面PBC；

(2)是否存在实数λ，使得异面直线EF与CD所成角为60°？若存在，试求出λ的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）见解析

【解析】

（1）作EH∥AD交PA于点H，连接HF，结合，可以证明FH∥PB，从而可以证明平面EFH∥平面PBC，进而得到EF∥平面PBC；（2）异面直线EF与CD所成角为60°，可知，则，再用λ分别表示出与，代入即可求出λ.

(1)作EH∥AD交PA于点H，连接HF，

∵EH∥AD，∴.

又∵，

∴，

∴FH∥PB.

又∵EH∥AD，FH∩HE＝H，

∴平面EFH∥平面PBC.

∵EF在平面EFH内，∴EF∥平面PBC.

(2)存在实数，使得异面直线EF与CD所成角为60°.

其理由如下：假设存在实数λ，使得异面直线EF与CD所成角为60°，

∵AB∥CD，∴∠AFE为异面直线EF与CD所成角，

∴.

过点E作EQ⊥AD交AD于点Q，连接FQ，

∵PA＝AD，AB＝AD，∴设AD＝1，

又∵，

可知，，，

∵，

∵，

∴中，，

∴，∴.

∴存在实数，使得异面直线EF与CD所成角为60°