Question

18．已知函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$，g（x）=x-lnx，其中a∈R且a≠0．
（Ⅰ） 求曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程；
（II）当a=1时，求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调区间；
（III）设函数u（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{f（x），f（x）≥g（x）}\\{g（x），f（x）＜g（x）}\end{array}}$若u（x）=f（x）对任意x∈[1，e]均成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导数，求得切线的斜率和切点，可得切线方程；
（II）求出当a=1时的函数的导数，令导数大于0，求得增区间，令导数小于0，可得减区间，注意定义域；
（III）由题意可得f（x）≥g（x）对任意x∈[1，e]均成立，即为x+$\frac{a}{x}$≥x-lnx，运用参数分离，由导数判断单调性，求得右边函数的最大值，即可得到a的范围．

解答 解：（Ⅰ）g（x）=x-lnx的导数为g′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线斜率为k=g′（1）=0，
切点为（1，1），
则曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=1；
（II）当a=1时，函数h（x）=f（x）+g（x）=2x-lnx+$\frac{1}{x}$，
导数h′（x）=2-$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{（2x+1）（x-1）}{{x}^{2}}$，
由h′（x）＞0可得x＞1；由h′（x）＜0可得0＜x＜1．
则h（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；
（III）由题意可得f（x）≥g（x）对任意x∈[1，e]均成立，
即为x+$\frac{a}{x}$≥x-lnx，
即有a≥-xlnx，
令y=-xlnx，x∈[1，e]，
则y′=-（1+lnx）＜0，
即有y=-xlnx在[1，e]递减，
则y=-xlnx的最大值为0，
则a≥0，由a∈R且a≠0．
即有a＞0．
则a的取值范围是（0，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，同时考查不等式恒成立问题，注意运用参数分离，函数的单调性，属于中档题．