Question

【题目】一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（参考数据： ° ， ）

（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；
（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）设缉私艇在 处与走私船相遇（如图甲），

依题意， ．

在△ 中，由正弦定理得，

．

因为 ° ，所以 °．

从而缉私艇应向北偏东 方向追击．

在△ 中，由余弦定理得，

，

解得 ．

又B到边界线l的距离为 ．

因为 ，所以能在领海上成功拦截走私船．

答：缉私艇应向北偏东 方向追击；

（2）

解：如图乙，以 为原点，正北方向所在的直线为 轴建立平面直角坐标系 ．

则 ，设缉私艇在 处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私船相遇，则 ，即 ．

整理得， ，

所以点 的轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆．

因为圆心 到领海边界线 ： 的距离为1.55，大于圆半径 ，

所以缉私艇能在领海内截住走私船．

答：缉私艇总能在领海内成功拦截走私船．

【解析】(1) 假设在C点能拦截，由BC、AC关系算出∠BAC，再由余弦定理算出BC判断BC与B到边界的距离。（2）设出拦截点的坐标，根据 ，用两点间距离公式分别表示PA、PB可得一个圆，然后比较点B到边界的距离与半径的大小。