Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=BB₁，D为AC的中点．
（I）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）若AC₁⊥平面A₁BD，求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅲ）在（II）的条件下，求二面角B-A₁C₁-D的大小．

Answer 1

（I）证明：连结AB₁交A₁B于E，连ED．
∵ABC-A₁B₁C₁是三棱柱中，且AB=BB₁，
∴侧面ABB₁A是一正方形．
∴E是AB₁的中点，又已知D为AC的中点．
∴在△AB₁C中，ED是中位线．
∴B₁C∥ED．∴B₁C∥平面A₁BD．…（4分）
（II）证明：∵AC₁⊥平面ABD，∴AC₁⊥A₁B，
又∵侧面ABB₁A是一正方形，∴A₁B⊥AB₁．
∴A₁B⊥平面AB₁C₁．∴A₁B⊥B₁C₁．
又∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴BB₁⊥B₁C₁．
∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁．…（8分）
（III）由上问知B₁C₁⊥平面ABB₁A₁．∴BC⊥平面ABB₁A₁．∴BC⊥AB．
以BA、BC、BB₁分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
不妨设AB=BC=BB₁=1，则显然B、D、A₁、C₁各点的坐标分别是
B（0，0，0），D（

1

2

，

1

2

，0），A₁（1，0，1），C₁（0，1，1）．

∴ BA1 =(1，0，1)， BC1 =(0，1，1)， BD =( 1 2 ， 1 2 ，0). 显然， BD 就是平面A1C1D的法向量. 设平面BA1C1的法向量为 n =(x，y，z)，则 n • BA1 =0， n • BC1 =0. ∴(x，y，z)•(1，0，1)=0，(x，y，z)•(0，1，1)=0. ∴x=y=-z．令x=1，则 n =(1，1，-1). 设 n 与 BD 所成的角为θ，则cosθ= n • BD | n || BD | =…= 6 3 .

由图形可知二面角B-A₁C₁-D的平面角为锐角，
∴二面角B-A₁C₁-D的大小为arccos

6

3

．…（12分）