Question

4．如图，BC是⊙O的直径，AD是平行于BC的弦，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E．
求证：（1）△ABC≌△DCB
（2）DE•DC=AE•BD．

Answer 1

分析 （1）证明∠DBC=∠ACB，即可证明△ABC≌△DCB
（2）证明△AED∽△BAC，可得AE•AC=AB•DE，利用△ABC≌△DCB，可得AB=DC，AC=BD，即可证明DE•DC=AE•BD．

解答 证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠DBC=∠ACB
在△ABC和△DCB中，
∵∠BAC=∠DCB，BC=BC，∠DBC=∠ACB，
∴△ABC≌△DCB；
（2）在△AED和△BAC中，
∵AC∥ED，AD∥BC，
∴∠ADE=∠BCA，∠EAD=∠ABC，
∴△AED∽△BAC，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{AC}$，
∴AE•AC=AB•DE，
∵△ABC≌△DCB，
∴AB=DC，AC=BD，
∴DE•DC=AE•BD．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．