Question

13．已知a∈R，函数f（x）=x²-a|x-1|．当a＜0时，讨论y=f（x）的图象与y=|x-a|的图象的公共点个数．

Answer 1

分析 设h（x）=x²-a|x-1|-|x-a|，对x讨论去掉绝对值，再对a讨论，根据二次函数的性质即可得到答案．

解答 解：设h（x）=x²-a|x-1|-|x-a|，
当a＜0时，
h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-（a+1）x+2a，x≥1}\\{{x}^{2}+（a-1）x，a≤x＜1}\\{{x}^{2}+（a+1）x-2a，x＜a}\end{array}\right.$，
由于h（0）=0，h（1）=a＜0．则h（x）的图象过原点和点（t，0）（t＞1）；
所以当x＜0时，（ⅰ）a≤-$\frac{1}{3}$时，对称轴x=-$\frac{a+1}{2}$≥a，h（a）=a（2a-1）＞0，无零点；
（ⅱ）-$\frac{1}{3}$＜a＜-5+2$\sqrt{6}$时，△=a²+10a+1＜0，无零点；
（ⅲ）a=-5+2$\sqrt{6}$时，x=2-$\sqrt{6}$＜a=-5+2$\sqrt{6}$，一个零点；
（ⅳ）-5+2$\sqrt{6}$＜a＜0时，△=a²+10a+1＞0，对称轴x=-$\frac{a+1}{2}$，h（a）=a（2a-1）＞0，两个零点；
综上，（ⅰ）a＜-5+2$\sqrt{6}$，y=f（x）与y=g（x）的图象的公共点有2个；
（ⅱ）a=-5+2$\sqrt{6}$时，y=f（x）与y=g（x）的图象的公共点有3个；
（ⅲ）-5+2$\sqrt{6}$＜a＜0时，y=f（x）与y=g（x）的图象的公共点有4个．

点评 本题考查了二次函数的性质，难点是分类讨论，运算量大，分类多，属于难题．