Question

16．正四面体A-BCD中，M和N分别是AD和AB中点，求异面直线CM和DN所成角的余弦值．

Answer 1

分析 先利用中位线将PM平移到NO，得到的锐角∠BNO就是异面直线所成的角，在三角形BNO中再利用余弦定理求出此角的余弦值即可．

解答 解：如图
连接MB，交CN于O，则OM=$\frac{1}{2}$OB，取CE=$\frac{1}{3}$CB，连结OE，EN，MC∥OE，
∴∠NOE为异面直线CM和DN所成的角
设棱长为3，则DN=CM=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，OE=$\sqrt{3}$，ON=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，EB=2，
利用余弦定理得
EN²=BE²+BN²-2BE•BNcos∠CBA
=（$\frac{3}{2}$）²+2²-2×$\frac{3}{2}×2×\frac{1}{2}$=$\frac{13}{4}$，
EN²=OE²+ON²-2OE•ONcos∠NOE，
$\frac{13}{4}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+（$\sqrt{3}$）²-$2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}$cos∠NOE
∴异面直线CM和DN所成的角的余弦值为$\frac{1}{6}$．

点评 本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．