Question

9．函数f（x）=x²+ax+2在区间[1，5]上至少有一个零点，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，-2$\sqrt{2}$]
• B． [-3，-2$\sqrt{2}$]
• C． [-$\frac{27}{5}$，-2$\sqrt{2}$]
• D． （-∞，-2$\sqrt{2}$]∪[2$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 通过题意知，需讨论二次函数f（x）对称轴的分布情况：对称轴是x=-$\frac{a}{2}$，第一种情况是，-$\frac{a}{2}$≤1，或-$\frac{a}{2}$≥5，这时候，f（1）•f（5）≤0；第二种情况，1＜-$\frac{a}{2}$＜5，需满足，f（1），f（5）有一个大于0且f（-$\frac{a}{2}$）＜0，解出a即可．

解答 解：f（x）=x²+ax+2=（x+$\frac{a}{2}$）²+2-$\frac{{a}^{2}}{4}$
对称轴x=-$\frac{a}{2}$，
①若-$\frac{a}{2}$≤1或-$\frac{a}{2}$≥5，即a≥-2或a≤-10时，
则在区间[1，5]上有零点的条件是：f（1）•f（5）≤0，无解；
②若1＜-$\frac{a}{2}$＜5，即-10＜a＜-2时，
则在区间[1，5]上有零点的条件是：f（-$\frac{a}{2}$）＜0，且f（1），f（5）中有一个大于0，
即$\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{a}{2}）=2-\frac{{a}^{2}}{4}＜0}\\{a+3＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{a}{2}）=2-\frac{{a}^{2}}{4}＜0}\\{f（5）=5a+27＞0}\end{array}\right.$，
解得：-$\frac{27}{5}$＜a＜-2$\sqrt{2}$，取“=”也成立，
综上所述，实数a的取值范围是：[-$\frac{27}{5}$，-2$\sqrt{2}$]，
故选：C．

点评 熟练掌握二次函数图象以及对称轴、取零点的情况是求解本题的关键．